Memory and Scores

题目链接：

dp

因为每轮Memory和Lexa能取的都在[-k,k]，也就是说每轮两人分数的变化量在[-2k,2k]；

故可以定义状态：dp[times][diff]为第times次Memory和Lexa的分数差为diff的方案数.

而dp[times][diff]可以从dp[times-1][diff-2k]到dp[times-1][diff+2k]转移而来；

又因为变化量为-2k时的方案数为1（-k，k），

变化量为-2k+1时的方案数为2（-k，k-1；-k+1，k），

变化量为-2k+2时的方案数为3（-k，k-2；-k+1，k-1；-k+2，k），

...，

变化量为-2k+m时的方案数为m+1，

...，

变化量为0时的方案数为2k+1，

...，

变化量为2k-m时的方案数为m+1，

...，

变化量为2k-1时的方案数为2，

变化量为2k时的方案数为1.

所以状态转移方程为：dp[times][diff]=dp[times-1][diff-2k]+2*dp[times-1][diff-2k+1]+3*dp[times-1][diff-2k+2]+...+(m+1)*dp[times-1][diff-2k+m]+...+2*dp[times-1][diff+2k-1]+dp[times-1][diff+2k];

这样的话，时间复杂度为O（k²t²），代码如下：

1 #include
      
        2 #include
       
         3 #define M 1000000007LL 4 #define TIME 105 5 #define DIFF 300000 6 #define BASE 150000 7 using namespace std; 8 typedef long long LL; 9 LL a,b,k,t,ans;10 LL dp[TIME][DIFF];11 int main(void){12     cin>>a>>b>>k>>t;13     dp[0][a-b+BASE]=1;14     LL upper=a-b+BASE+2*k*t;15     LL lower=a-b+BASE-2*k*t;16     for(LL times=1;times<=t;++times){17         for(LL diff=lower;diff<=upper;diff++){18             for(LL m=0;m<=2*k;m++){19                 LL add=-2*k+m;20                 if(diff+add>=lower){21                     if(add)dp[times][diff]+=(dp[times-1][diff+add]+dp[times-1][diff-add])*(m+1);22                     else dp[times][diff]+=dp[times-1][diff]*(m+1);23                     dp[times][diff]%=M;24                 }25             }26         }27     }28     for(int i=BASE+1;i<=upper;++i)29         ans=(ans+dp[t][i])%M;30     cout<
        
         <
        
       
      

很显然，这会T，所以必须做出优化。

注意到：

dp[times][diff]是在dp[times][diff-1]的基础上前半段各个项减一，后半段各个项加一得到的，所以可以维护一个前缀和数组pre[i]，那么

dp[times][diff]=dp[times][diff-1]+(pre[diff+2k]-pre[diff-1])-(pre[diff-1]-pre[(diff-1)-2k-1])

可以在O（1）的时间内完成，优化后的代码时间复杂度为O（kt²），代码如下：

1 #include
     
       2 #include
      
        3 #define M 1000000007LL 4 #define TIME 105 5 #define DIFF 500000 6 #define BASE 250000 7 using namespace std; 8 typedef long long LL; 9 LL a,b,k,t,ans;10 LL dp[TIME][DIFF];11 LL pre[DIFF];12 int main(void){13     cin>>a>>b>>k>>t;14     dp[0][a-b+BASE]=1;15     LL upper=a-b+BASE+2*k*t;16     LL lower=a-b+BASE-2*k*t;17     for(LL times=1;times<=t;++times){18         for(LL diff=lower;diff<=upper;diff++)19             pre[diff]=pre[diff-1]+dp[times-1][diff],pre[diff]%=M;20         for(LL m=0;m<=2*k;m++){21             LL add=-2*k+m;22             if(add)dp[times][lower]23                 +=(dp[times-1][lower+add]+dp[times-1][lower-add])*(m+1);24             else dp[times][lower]+=dp[times-1][lower]*(m+1);25             dp[times][lower]%=M;26         }27         for(LL diff=lower+1;diff<=upper;diff++){28             dp[times][diff]=dp[times][diff-1]29                 +(pre[min(upper,diff+2*k)]-pre[diff-1])30                 -(pre[diff-1]-pre[max(lower,diff-1-2*k)-1]);31             dp[times][diff]=(dp[times][diff]+M)%M;32             //记得+M，减法模运算可能会出现负数33         }34     }35     for(int i=BASE+1;i<=upper;++i)36         ans=(ans+dp[t][i])%M;37     cout<
       
        <
       
      
     

 

这样的代码仍然可以优化：

1.可以用滚动数组来优化空间复杂度，从O（kt²）降低到O（kt），太懒没写╮(╯▽╰)╭；

2.可以用快速傅里叶变换FFT优化时间复杂度，从O（kt²）继续降到O（kt lg(kt)），没学还不会写╮(╯▽╰)╭

 

//昨天去面试微软俱乐部被嘲讽=。= 定个目标吧，这学期div2稳定4题怎么样？